Resumen del tema 8 de ETICs: Medidas de tendencia central, posición y dispersión.

1.       MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

•         Media aritmética: Se calcula para variables cuantitativas y se trata del centro geométrico o de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos los valores de la variable observada entre el total de observaciones. La fórmula es:

x= Ʃx/n

Cuando los datos están agrupados (dos intervalos), para calcular la media utilizamos como valor de referencia de cada intervalo su marca de clase: se calcula una media aritmética ponderada que se calcula sumando la marca de clase por la frecuencia absoluta, entre N. 

•         Mediana: medida de posición y central.Es el valor de la observación tal que deja a un 50% de los datos  menor y otro 50% de los datos mayor.

-          Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1/2) Ejemplo: si son 75, pues 76 entre 2 = 38, la mediana seria la edad que tiene el sujeto 38.

-          Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. Ejemplo: cuatro sujetos de edades, 10, 15, 20, 25, cogemos los dos sujetos centrales y hacemos la media aritmética entre ambos.

•          Propiedad: robustez. Sólo tiene en cuenta la posición de los valores en la muestra y por tanto tiene mucho mejor comportamiento que la media cuando hay observaciones extremas.
•          Moda: Es el valor con mayor frecuencia (que más veces se repite). Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos modas). Se puede calcular para cualquier tipo de variable tanto la cualitativa como la cuantitativa. La moda no es el número más frecuente si no la categoría.

Si los datos están agrupados, se habla de clase modal y corresponde al intervalo en el que el cociente entre la frecuencia relativa y la amplitud (se resta el intervalo mayor menos el menor) es mayor (h_i/c_i). Donde la frecuencia absoluta sea mayor.

2.       MEDIDAS DE POSICIÓN O CUANTILES

Se calculan para variables cuantitativas y, al igual que la mediana, sólo tienen en cuenta la posición ordenado de mayor o menor de los valores en la muestra.

Los cuantiles más usuales son los percentiles, los deciles y los cuartiles, según dividan la muestra ordenada en 100 (perciles), 10 (deciles) ó 4 partes (cuartiles), respectivamente.

-          Percentiles:

o   Dividen la muestra ordenada en 100 partes.

o   El percentil “i” (P_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i)% restante son mayores.

o   Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (H_i) sea superior al valor del percentil.

o   El valor del P₅₀ corresponde al valor de la mediana.

-          Deciles:

o   Dividen la muestra ordenada en 10 partes.

o   El decil “i” (D_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.

o   El valor del D₅ corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P₅₀.

-          Cuartil:

o   Dividen la muestra ordenada en 4 partes.

o   El Q₁, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores.

o   El Q₂, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q₂ coincide con el valor del D₅, con el valor de la mediana P₅₀.

o   El Q₃, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores.

o   El Q₄, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.

3.       MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

•          Rango o recorrido: Diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra lX_n-X₁l (valor absoluto).
•         Desviación media: Media aritmética de las distancias de cada observación con respecto a la media de la muestra: 

Para datos agrupados:

•          Desviación típica o estándar: Cuantifica el error que ometemos si representamos una muestra únicamente por su media.  Esta es la que más se emplea debido a que esta nos da un mayor rango de error. 

Para datos agrupados:  

                                             

•       Varianza: Expresa la misma información en valores cuadráticos:         

                                               

Para agrupados:

•          Recorrido intercuartílico: Diferencia entre el tercer y el primer cuartil = lQ₃-Q₁l
•          Coeficiente de variación: Es una medida de dispersión relativa (adimensional) ya que todas las demás se expresan en la unidad de medida de la variable. Nos sirve para comparar la heterogeneidad de dos series numéricas con independencia de las unidades de medidas. Se expresa sin unidades. Siempre va de 0 a 1.

-          c.v.=s/x 

4.      DISTRIBUCIONES NORMALES

En estadística se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. Es Distribución de probabilidad más frecuente con variables continuas, por ejemplo, altura, peso, niveles de colesterol…

Las distribuciones normales en un histograma aparece una especie de Campana, por eso la campana de Gauss. Y es simétrica respecto de los valores de posición central, es decir que la moda va a coincidir con la media y la mediana.

Media, moda, mediana.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones). Es simetrica dejando la mitad de los valores por debajo del punto maximo y la mitad de los valores por encima. 

 

     

Una distribución normal sigue estos principios básicos: si al valor de la media le restamos y le sumamos una desviación típica, si la serie numérica siguiera una distribución normal (como el colesterol). Dice que el 68.25% de las observaciones se va a sumar entre los valores de la suma y la resta de la media a una desviación típica. Estas datos varían si sumamos una, dos o tres desviaciones típicas.

-       S 68,26% de las observaciones.

-        2xS95,45% de las observaciones.        

-        3xS 99,73% de las observaciones.

                                                                                                       

5.       ASIMETRÍAS Y CURTOSIS

La asimetría es al lado contrario al que vemos el pico (la moda), es decir si vemos el pico hacia la derecha la asimetría es a la izquierda, y si la moda esta a la izquierda la asimetría esta hacia la derecha.

Coeficiente de asimetría de una variable: Grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media, cuanto más asimétrica sea, valores más diferentes encontraremos.

•          Asimetrías:

Los resultados pueden ser los siguientes:

-          g1=0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media).

-          g1>0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores  a la derecha de la media que a su izquierda).

-          g1<0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha).

•           Curtosis o apuntamiento de la curva:

No tiene relación con la simetría. Coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable, sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media. Los datos se acumulan mucho, mientras más se acumulen, mas apuntada esta la curva.

Los resultados pueden ser los siguientes:

-          g2=0 (distribución mesocúrtica o normal). Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).

-          g2>0 (distribución leptocúrtica). Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

-          g2<0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

6.       TIPICACION DE LOS VALORES Y SU RELACION CON LA CAMPANA DE GAUSS. 

Trabajamos con una variable continua que:

-          Sigue una distribución normal (TLC)

-          Tiene mas de 100 unidades (LGN)

La tipificación nos permite conocer si valor corresponde o no a esa distribución con frecuencia